A QUÍMICA DOS NÚMEROS PRIMOS

Todos nós conhecemos os tais números primos. Seja de uma vaga lembrança da escola, de ter aprendido mesmo ou por ter ouvido falar. Os números primos, definidos a grosso modo, são números naturais diferentes de 0 e 1, que admitem como divisores naturais, apenas o 1 e ele mesmo. Assim, os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Repare que o número 2 é o único primo par. Uma vez que todos os demais pares são divisíveis por 2. E sendo eles diferentes de 2, não atendem a definição acima. Em 300 a.C. Euclides de Alexandria mostrou que são infinitos. Atualmente, esses números são muito utilizados na criptografia de senhas. Alguns bancos oferecem pequenas fortunas por um número primo inédito. Mas, descobrir se um número é primo ou não, é uma tarefa árdua. Hoje, com o auxílio de computadores, já são conhecidos primos com mais de 9 milhões de algarismos. Até que é um negócio promissor, considerando o que afirmou o Sr Euclides.
O nome “primo” vem do termo em latim “primus” que significa primeiro ou primário. Então, os números primos são números primários. Vamos entender melhor. Os números inteiros, excetuando-se o um e o zero, são classificados como primos ou compostos. Segundo o Teorema fundamental da aritmética, todo número composto pode ser escrito na forma de um produto de primos. Daí o nome “composto”, já que os primos os compõem. Logo, os primos vêm em primeiro lugar, e depois “se misturam” e formam os compostos. Veja alguns exemplos. 6 = 2.3; 8 = 2.2.2 = 2^3; 9 = 3.3 = 3^2; 42 = 2.3.7. É como se os números primos fossem uma tabela periódica da matemática, os elementos essenciais da aritmética. E os compostos fossem como os diferentes tipos de matéria, frutos das infinitas combinações dos elementos. Não é uma verdadeira química?
Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo#Maior_n.C3.BAmero_primo_conhecido; acesso em 31/01/2012;
http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2008/Apostila1-aritmetica.pdf; acesso em 31/01/2012.

JUROS COMPOSTOS E O NÚMERO "e"

Um dos números mais interessantes de que se tem conhecimento é o número “e”. Ele figura na lista dos números célebres, pois possui grande importância no corpo matemático, com implicações diretas em outras áreas da atividade humana. Trata-se de um número irracional cujo valor aproximado é 2,718.
A história conta com a contribuição de um Escocês chamado John Napier, que, no início do século XVII, desenvolveu um minucioso estudo sobre os logaritmos. Estes estudos consistiam em determinar tábuas (tabelas) de logaritmos a fim de que fossem utilizados para cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. Pois como sabemos, os logaritmos convertem multiplicações em simples adições ou divisões em simples subtrações. Em estudos de matemática financeira, com a contribuição de outros como por exemplo Jacob Bernoulli, percebeu-se uma intrigante propriedade no cálculo de juros compostos. Observemos: supondo que você tome R$ 1,00 emprestado a juros de 100% ao ano. Logo, ao final de 1 ano, deverá pagar R$ 2,00. São R$ 1,00 que tomou de empréstimo mais R$ 1,00 de juros. Assim, utilizando a fórmula para juros compostos, temos que, ao final de 1 ano, o fator de multiplicação seria (1+1)^1 = 2. Mas, se resolvêssemos mudar a unidade de tempo para semestre, ao invés de ano. Teríamos, para o mesmo período, um fator de multiplicação (1+1/2)^2 = 2,25, e então pagaria R$ 2,25. E se mudássemos a unidade de tempo para quadrimestre? Ao final de 1 ano teríamos um fator de multiplicação igual a (1+1/3)^3 = 2,37 (aprox.) e pagaria R$ 2,37. E assim por diante. Claro, que, quanto mais fracionássemos o período, isto é, quanto maior a composição dos juros, maior seria o valor a ser pago. Mas, o que se percebeu, e aí está o que mais intrigou os estudiosos, é que, apesar de aumentar o fator de multiplicação, ele parecia não ultrapassar um certo limite, o número “e”. Mas era muito custoso efetuar os cálculos fracionando-se o ano em partes cada vez menores. Além do mais, não se pode fazer afirmações gerais tendo como exemplos casos particulares. Surgiu então a pergunta: será que o valor de (1+1/n)^n possui mesmo um limite para valores de n cada vez maiores? Isto é, para n tendendo ao infinito? Que pode ser respondida no final do século XVII com a invenção do cálculo por Newton e Leibiniz. Mas sua importância foi mesmo confirmada por Euler, no século XVIII, quando chamou a atenção para o papel central do número “e” na análise. Inclusive, foi quem atribuiu a notação ao número. Hoje, ele é conhecido como número de Euler, número de Napier, base do logaritmo natural ou base do logaritmo neperiano. O número e até a 20ª casa decimal: 2,71828182845904523536. Ele também é um número transcendente, mas isso já é assunto para outra conversa.
Referências:
MAOR, Eli. e: A História de um Número. Record, Rio de Janeiro: 2008; 4 ed;
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Rodrigues. Editora Unicamp, Campinas SP: 2004;
BENTLEY, Peter. O Livro dos Números: Uma história Ilustrada da Matemática. Trad. Maria Luiza X. de A. Borges. Zahar: Rio de Janeiro: 2009.

SISTEMAS LINEARES 2x2

Normalmente, segundo os documentos oficiais que norteiam o ensino no Brasil, o conceito de sistemas de equações lineares é ensinado aos jovens entre o 8º e 9º ano (antigas 7ª e 8ª séries). Longe de qualquer ligação com matrizes e determinantes, como mais tarde no ensino médio irão estudar, os alunos aprendem a resolver os sistemas lineares por diferentes métodos. E sistemas do tipo 2x2, isto é, com duas equações e duas incógnitas.
Os métodos: da adição, que consiste em multiplicar as equações por valores convenientes, a fim de eliminar uma das incógnitas quando as equações forem somadas termo a termo (daí o nome adição); o da substituição, que consiste em isolar uma das incógnitas numa das equações e substituí-la na segunda equação; o da comparação, em que o estudante isola a mesma incógnita em ambas as equações, para depois compará-las igualando os membros correspondentes; e o método geométrico, em que se consideram as equações como funções e através da construção de seus gráficos num mesmo sistema cartesiano, encontram-se os valores de suas incógnitas.
Tudo muito interessante (ou não), mas em que consiste meu comentário? O fato é que este último método, o geométrico, por não ser tão familiar aos alunos, uma vez que possui interpretação gráfica, e por não ser tão prático como os demais, não é tão utilizado e acaba sendo, de certa forma, “esquecido”. Também por questões de “prevalência” da álgebra sobre a geometria. Mas isso é assunto para outro momento. Até aqui, muitos professores e principalmente os alunos, concordam plenamente. Se os demais procedimentos são mais “práticos”, fatalmente serão mais utilizados em detrimento daquele.
Ocorre que no ensino médio, possivelmente na 2ª série, quando forem estudar discussão de um sistema linear, a compreensão geométrica do sistema fará muita falta. Pois se o estudante perceber que as equações podem ser interpretadas como retas, ele poderá classificar o sistema e discuti-lo facilmente, apenas pela observação de seus coeficientes e termos independentes. Percebendo que as retas são concorrentes, ele poderá classificá-lo como SPD (Sistema Possível e Determinado) cuja solução é única: o ponto de intersecção das retas; Constatando que as retas são paralelas, ele o apontará como SI (Sistema Impossível), isto é, sem solução, já que não há ponto de intersecção; e se constatar que as retas são coincidentes, poderá classificá-lo como SPI (Sistema Possível e Indeterminado) em que há infinitas soluções, já que todos os pontos de ambas as retas são coincidentes.
Como podem observar, trata-se de uma escolha didática importante, quando o método de resolução do sistema linear é eleito com base em sua compreensão futura. Talvez seja interessante revisitar o conceito quando estiverem estudando geometria analítica, momento em que a reta é interpretada mais geometricamente.

Em que universo numérico você atua?

O universo numérico em que muitas pessoas atuam é bastante restrito. Ouso afirmar que na maioria dos casos, considerando todas as pessoas, de diversas áreas profissionais, ou camadas sociais, ele não passa dos racionais positivos, ou melhor, dos racionais não negativos. Isto, para não excluirmos o zero. Acabam se esquecendo, se é que souberam algum dia, dos racionais negativos e dos irracionais. Dos complexos então, nem vou falar! Mas isso é por força das circunstâncias. A maior parte das atividades rotineiras do cidadão comum, não exigem o conhecimento daqueles conjuntos numéricos. E a discussão sobre sua utilidade é polêmica, já diria meu aluno Gian. Por outro lado, os aspectos dos conjuntos numéricos mais elaborados, remetem à questões mais filosóficas e de ordem utilitária mais complexa. O que excluiria de seu domínio, LAMENTAVELMENTE, parcela significativa da população. Mas a questão a que me proponho discutir, é que muitas vezes (acho que todas) o senso-comum nos faz cair em armadilhas perigosas. Em uma aula sobre inequações exponenciais, me pus a discutir com meus alunos sobre uma pergunta aparentemente simples, mas que pode nos conduzir a um erro grotesco. O cubo de um número positivo é sempre maior que o quadrado deste mesmo número? Ao primeiro olhar, mais desatento, seríamos tentados a responder que sim. O raciocínio é simples: claro que elevar um número ao cubo, produz um valor maior do que elevá-lo ao quadrado, certo? Tipo, dois ao cubo é maior do que dois ao quadrado, certo? ERRADO!!! E o que está errado é a palavra SEMPRE. É claro que há muitos números positivos cujo cubo é maior do que seu quadrado, porém, se o número for um valor entre zero e um, a coisa muda de figura. Por exemplo, o cubo de meio é um oitavo, ao passo que seu quadrado é um quarto. E claro, um oitavo é MENOR que um quarto. Além do que, o cubo e o quadrado de um, são iguais. Este é um exemplo interessante, em que o universo numérico no qual se trabalha é determinante na resposta da questão. Assim, o correto seria afirmar: o cubo de qualquer número MAIOR DO QUE UM, é sempre maior do que seu quadrado. Certo?

Geometrias não-euclidianas

Euclides de Alexandria, um matemático grego que viveu por volta do século III a.C., famoso por sua obra “Os Elementos” onde compilou o conhecimento matemático conhecido e desenvolvido até então. “Os Elementos” não se destaca apenas por reunir as teorias sobre números e geometria, mas principalmente por organizá-las de forma sistemática, em que os conceitos vão sendo apresentados numa cadeia lógica de dependência, dos conceitos primitivos aos teoremas, exibindo então, as demonstrações destes últimos. Euclides é considerado o pai do formalismo lógico-dedutivo, pois “Os Elementos” é a obra conhecida mais antiga em que tal organização é apresentada, além de ser o método utilizado até os dias atuais em Matemática. A geometria apresentada no texto de Euclides é baseada na concepção do espaço conforme preceitos gregos sobre o saber da antiguidade clássica, isto é, um espaço perfeito, simétrico, contínuo e imutável, conhecido até hoje como espaço euclidiano. Daí o termo geometria euclidiana em referência à geometria clássica. Ocorre que, na atualidade, existem modelos de geometria não-euclidiana. Termo que, como parece óbvio, é aplicado àqueles modelos geométricos que negam ser o espaço algo assim tão constituído de planos, tão “certinhos”, portanto, nada euclidianos. Um exemplo simples, apesar de um tanto rústico, é a questão da geometria dos caças, aqueles aviões supersônicos, que voam a velocidades estonteantes, cobrindo assim, grandes áreas em seu vôo. Se, para executarem seus vôos, considerassem estar sobrevoando uma superfície plana, talvez saíssem da atmosfera terrestre, como uma reta tangente à superfície da terra. De modo que devem voar considerando que sobrevoam uma superfície curva, para que possam manter uma certa uniformidade de altitude. As geometrias não-euclidianas surgem à partir da negação do quinto postulado da euclidiana, que afirma passar por um ponto fora de uma reta, uma única reta paralela à primeira. Tal questionamento gerou uma polêmica, em relação à concepção de espaço, de magnitudes filosóficas, em que haveria um “rompimento” com a forma vigente de pensar o espaço, e consequentemente, também várias outras concepções. Assim, alimentados pela inquietude do pensamento de que talvez retas paralelas possam se encontrar num ponto fora do espaço prático concebido, portanto no infinito, alguns matemáticos desenvolveram modelos geométricos perfeitamente coerentes com os quatro primeiros postulados da geometria euclidiana, porém, sem haver compatibilidade com o quinto. A tais modelos chamamos geometrias não-euclidianas (veja mais em: http://www.im.ufrj.br/~risk/diversos/gne.html texto de Ricardo Kubrusly da UFRJ). A questão da geometria euclidiana estar incutida em nossas mentes, de maneira histórica e também escolar, talvez explique o fato de vermos por aí, nas coisas que construímos, tantas formas com ângulos retos. Já notou, quantos prédios parecendo caixas, caminhões com cantos vivos (90°), embalagens quadradinhas, etc... E mesmo quando se tentou inovar um pouco, passando às formas triangulares, estávamos ainda a pensar em pirâmides com suas faces planas e com cantos onde aquelas se encontram. Mas, da mesma forma, os designers atuais talvez também podem ter sido influenciados pela concepção não-euclidiana do espaço. Ainda que por uma frestinha do saber que nos chega através da escola, a visão do espaço sob essa nova ótica pode estar sim nos remetendo a um mundo mais “suavizado”, com curvas e cantos arredondados. Reparou nos novos modelos de veículos, nas construções mais futuristas e nos móveis das decorações modernas? Pois é, Oscar Niemeyer que não nos deixe mentir sozinhos. Ele estava certo! Sempre esteve! E olha que já vai com mais de cem anos de idade. Agora, porquê não ensinamos nas escolas a geometria não-euclidiana? Mas aí já é assunto para outra ocasião, quem sabe Renato não a responda? Não o Russo, ainda que tivesse nos ajudado, mas o Renato de Morais, um estudante de Matemática com quem conversei hoje.
Prof° Ms Xandão

Sistema de Numeração Decimal

Na aula sobre Logarítmos

Num dia daqueles, em que a turma não está muito interessada no que você tem a dizer. E quando é que estão? Brincadeira. Mas naquele dia, tudo parecia convergir para a preguiça. Até mesmo o professor parecia querer que o sinal do fim da aula soasse logo. Mas, como compromisso é compromisso, cumpriu-se o ritual. A aula era sobre as propriedades dos logaritmos, especialmente o processo de mudança de base. Aí, teoria vai, teoria vem, alguns com aquela cara de sono, outros preocupados em não desapontar o professor, fazendo cara de interesse, outros já nem tão preocupados assim, e blá, blá, blá. Resolve-se os exercícios ao passo de perguntas retóricas do tipo: então, na mudança da base deste logaritmo, de 3 para 2 temos...? De repente, ao final da resolução de mais um exercício, o professor se lembra de comentar que os logaritmos são largamente utilizados em matemática financeira. Portanto, importante para economia. Fala também sobre quando fez um curso na bolsa de valores e pode verificar quão interessante é o mercado de ações, comodities, etc. Neste momento, o professor percebe um levantar de orelhas da parte de alguns alunos, interessando-se pelo assunto. Logo começam a perguntar sobre o funcionamento do mercado, sobre como uma empresa pode colocar suas ações no pregão, e como é possível investir e colocar o dinheiro para trabalhar. E aí, depois de algum tempo, já todos prestam atenção, e perguntam, e querem saber, e comentam, e desejam investir. E já não há mais sono, e a aula se torna curta para tantas coisas a dizer. O professor se realiza, a aula toma contornos de informativa. Não deveria ser?? E então, os logaritmos, aqueles, cuja teoria era o tema da aula, tornam-se algo de que alguma vez se ouviu dizer. Não faltará aluno a perguntar-se: onde foi mesmo que ouvi isto? Terá sido na aula de laboratório? Outros já dirão: acho que deve ser um composto de um remédio que minha avó tomava. Doença estranha aquela! Mas de qualquer forma, cumpriu-se, e bem, o ofício de informar-lhes. Depois, não se demoram aí os chatos a comentar que a escola não faz o seu papel. Mas como podem concluir, o que seria da economia e principalmente da bolsa de valores, não fossem os logaritmos...?