JUROS COMPOSTOS E O NÚMERO "e"

Um dos números mais interessantes de que se tem conhecimento é o número “e”. Ele figura na lista dos números célebres, pois possui grande importância no corpo matemático, com implicações diretas em outras áreas da atividade humana. Trata-se de um número irracional cujo valor aproximado é 2,718.
A história conta com a contribuição de um Escocês chamado John Napier, que, no início do século XVII, desenvolveu um minucioso estudo sobre os logaritmos. Estes estudos consistiam em determinar tábuas (tabelas) de logaritmos a fim de que fossem utilizados para cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. Pois como sabemos, os logaritmos convertem multiplicações em simples adições ou divisões em simples subtrações. Em estudos de matemática financeira, com a contribuição de outros como por exemplo Jacob Bernoulli, percebeu-se uma intrigante propriedade no cálculo de juros compostos. Observemos: supondo que você tome R$ 1,00 emprestado a juros de 100% ao ano. Logo, ao final de 1 ano, deverá pagar R$ 2,00. São R$ 1,00 que tomou de empréstimo mais R$ 1,00 de juros. Assim, utilizando a fórmula para juros compostos, temos que, ao final de 1 ano, o fator de multiplicação seria (1+1)^1 = 2. Mas, se resolvêssemos mudar a unidade de tempo para semestre, ao invés de ano. Teríamos, para o mesmo período, um fator de multiplicação (1+1/2)^2 = 2,25, e então pagaria R$ 2,25. E se mudássemos a unidade de tempo para quadrimestre? Ao final de 1 ano teríamos um fator de multiplicação igual a (1+1/3)^3 = 2,37 (aprox.) e pagaria R$ 2,37. E assim por diante. Claro, que, quanto mais fracionássemos o período, isto é, quanto maior a composição dos juros, maior seria o valor a ser pago. Mas, o que se percebeu, e aí está o que mais intrigou os estudiosos, é que, apesar de aumentar o fator de multiplicação, ele parecia não ultrapassar um certo limite, o número “e”. Mas era muito custoso efetuar os cálculos fracionando-se o ano em partes cada vez menores. Além do mais, não se pode fazer afirmações gerais tendo como exemplos casos particulares. Surgiu então a pergunta: será que o valor de (1+1/n)^n possui mesmo um limite para valores de n cada vez maiores? Isto é, para n tendendo ao infinito? Que pode ser respondida no final do século XVII com a invenção do cálculo por Newton e Leibiniz. Mas sua importância foi mesmo confirmada por Euler, no século XVIII, quando chamou a atenção para o papel central do número “e” na análise. Inclusive, foi quem atribuiu a notação ao número. Hoje, ele é conhecido como número de Euler, número de Napier, base do logaritmo natural ou base do logaritmo neperiano. O número e até a 20ª casa decimal: 2,71828182845904523536. Ele também é um número transcendente, mas isso já é assunto para outra conversa.
Referências:
MAOR, Eli. e: A História de um Número. Record, Rio de Janeiro: 2008; 4 ed;
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Rodrigues. Editora Unicamp, Campinas SP: 2004;
BENTLEY, Peter. O Livro dos Números: Uma história Ilustrada da Matemática. Trad. Maria Luiza X. de A. Borges. Zahar: Rio de Janeiro: 2009.